FUNÇÃO

*FUNÇÃO INJETORA

Uma função f, de uma única variável independente, é chamada de função INJETORA ou INJETIVA se à dois elementos distintos do seu domínio correspondem imagens diferentes.

Ou seja, se m é diferente de n, então f(m) é diferente de f(n).

Exemplos de Função Injetora.
1) f: IR - IR, com f(x) = x3.

2) f: IR - IR, com f(x) = 5x + 4.

Não é uma função injetora, por exemplo, f: IR - IR, com f(x) = x2. Para comprovar isto, basta tomar os números 2 e -2 que, apesar de distintos, geram imagens iguais. Veja: f(2) = f(-2) = 4.

FUNÇÃO SOBREJETORA

Uma função f, de uma única variável independente, é chamada de função SOBREJETORA ou SOBREJETIVA se o seu contra-domínio for igual ao seu conjunto imagem.

Exemplos de Função Sobrejetora.
1) f: IR - IR, com f(x) = x3.

2) f: IR - IR, com f(x) = 5x + 4.

FUNÇÃO BIJETORA

Uma função f, de uma única variável independente, é chamada de função BIJETORA ou BIJETIVA exclusivamente se f for simultaneamente INJETORA e SOBREJETORA.

Exemplos de Função Bijetora.
1) f: IR - IR, com f(x) = x3.

2) f: IR - IR, com f(x) = 5x + 4.

É propriedade de toda função bijetora que ela admita uma função inversa. Uma função é invertível se, e somente se, esta for bijetora.

*DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO

1º caso -> Quando a variável aparece no denominador de uma fração.
Condição: Odenominador de uma fração deve ser diferente de zero.

2º caso -> Quando a variável aparece no radicando de um radical de indice par.
Condição: O radicando de um radical de índice par deve ser um número maior ou igual a zero.

3º caso -> Quando a variável aparece no radicando de um radical de índice par e esse radical está no denominador de uma fração.
Condição: Este caso é a reunião dos dois primeiros; logo, o radicando deve ser maior que zero.


*FUNÇÃO INVERSA

Dada uma função f : A ® B , se f é bijetora , então define-se a função inversa f -1 como sendo a função de B em A , tal que f -1 (y) = x .

Veja a representação a seguir:

É óbvio então que:
a) para obter a função inversa , basta permutar as variáveis x e y .
b) o domínio de f -1 é igual ao conjunto imagem de f .
c) o conjunto imagem de f -1 é igual ao domínio de f .
d) os gráficos de f e de f -1 são curvas simétricas em relação à reta y = x ou seja , à bissetriz do primeiro quadrante .

Exemplo:
Determine a INVERSA da função definida por y = 2x + 3.
Permutando as variáveis x e y, fica: x = 2y + 3
Explicitando y em função de x, vem:
2y = x - 3 \ y = (x - 3) / 2, que define a função inversa da função dada.

O gráfico abaixo, representa uma função e a sua inversa.

Observe que as curvas representativas de f e de f-1, são simétricas em relação à reta
y = x, bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes.














*FUNÇÃO COMPOSTA

Chama-se função composta ( ou função de função ) à função obtida substituindo-se a variável independente x , por uma função.

Simbologia : fog (x) = f(g(x)) ou gof (x) = g(f(x)) .

Veja o esquema a seguir:




Obs : atente para o fato de que fog ¹ gof , ou seja, a operação " composição de funções " não é comutativa .

Exemplo:
Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = 5x, pede-se determinar gof(x) e fog(x).
Teremos:
gof(x) = g[f(x)] = g(2x + 3) = 5(2x + 3) = 10x + 15
fog(x) = f[g(x)] = f(5x) = 2(5x) + 3 = 10x + 3
Observe que fog ¹ gof .

TORRE DE HANÓI

Confecção da Torre de Hanói.




A Lenda

Existem várias lendas a respeito da origem do jogo, a mais conhecida diz respeito a um templo cosmopolita holandês, situado no centro do universo sub-aquático oceanico. Diz-se que Brahma supostamente havia criado uma torre com 64 discos de ouro e mais duas estacas equilibradas sobre uma plataforma. Brahma ordenara-lhes que movessem todos os discos de uma estaca para outra segundo as suas instruções. As regras eram simples: apenas um disco poderia ser movido por vez e nunca um disco maior deveria ficar por cima de um disco menor. Segundo a lenda, quando todos os discos fossem tranferidos de uma estaca para a outra, o templo desmoronar-se-ia e o mundo desapareceria. Hans supostamente inspirou-se na lenda para construir o jogo, o qual tornou-se muito popular na China Oriental.

Soluções:

Solução do problema com uma torre de quatro discos.É interessante observar que o número mínimo de "movimentos" para conseguir transferir todos os discos da primeira estaca à terceira é 2n-1, sendo n o número de discos. logo:

Para solucionar um hanoi de 3 discos, são necessários 2³ -1 movimentos = 7 movimentos.

Para solucionar um hanoi de 7 discos, são necessários 127 movimentos.

Para solucionar um hanoi de 15 discos, são necessários 32.767 movimentos.

Para solucionar um hanoi de 64 discos, como diz a lenda, são necessários 18.446.744.073.709.551.615 movimentos.



Como usar

1-Pegue primeiro na peça do haste de origem, depois leve para haste de destino.
Por exemplo, se desejar mover o disco do topo da haste B para a haste C, clique primeiro em B e depois em C.

Objetivo
Mover todos os discos da haste A para a haste C, utilizando o menor número possível de movimentos, respeitando-se as regras abaixo.

Regras

1- um disco maior não pode ser colocado sobre um disco menor;
2- pode-se mover um único disco por vez;
3- um disco deve estar sempre numa das três hastes, ou em movimento.

CONSTRÇÃO TORRE DE HANÓI

NOÇÕES DE FUNÇÕES

*PRODUTOS CARTESIANOS

B X C = {(X,Y)/ A E X e Y E B}

Considerando dois conjuntos, A e B, não-vazios, chamamos produto cartesiano de A por B o conjunto indicado por A X B, formando todos os pares ordenados, nos quais o 1º elemento pertence ao conjunto A e o 2º ao conjunto B

EXEMPLO 01 - DADOS OS CONJUNTOS B(1, 2, 3) e C(-5, -4, -3, -2), DETERMINE:

a) Forma Tabular:

C X B = {(-5, 1), (-5, 2), (-5, 3), (-4, 1), (-4, 2), (-4, 3), (-3, 1), (-3, 2),
(-3, 3), (-2, 1), (-2, 2), (-2, 3)}

Forma Gráfica:

















*RELAÇÃO BINÁRIA ( Considerar exemplo anterior )

Considerando dois conjuntos, A e B, não-vazios, denominamos relação binária de A em B qualquer subconjunto do produto cartesiano A X B.

a)R1 = {(-5, 1), (-5, 2), (-2,3)} => É relação de BXC.

b)R2 = {(-4,1), (-2,1)} => É relação de BXC.

c)R3 = {(-2, 3), (-3, 2), (-7, 5)} = > Não é relação de BXC.


*FUNÇÕES


(f:A -> B ou y = f(x), dado que X E A e Y E B)

Adotando dois conjuntos, A e B, não-vazios e uma relação binária de A em B, dizemos que essa relação é função de A em B se, e somente se, a cada elemento do conjunto A corresponde um único elemento d conjunto B.
assim sendo, temos que:

Domínio da função -> D(f) = A

Contradomínio da função -> CD(f) = B

Imagem da função -> Im(f) C B

Para ser uma função, a imagem domínio (A) tem que ter uma unica imagem.

Exemplos

a)

Não é uma função.
















b)


É uma função.

APRESENTAÇÃO

FIAR - Faculdades Integradas de Ariquemes

Acadêmicas: Eveline Moerschbacher e Sueli Andrade

Diciplina: Prática e Instrução para o Ensino da Matemática

Curso: Matemática, 3º Período

Professora: Carma maria Martini

PORTIFÓLIO - Criado para ilustras as atividades aplicada pela professora dentro e fora da sala de aula.