OS JOGOS NAS AULAS DE MATEMATICA DO ENSINO MÉDIO

Os Jogos nas Aulas de Matemática no Ensino Médio

A utilização de jogos na escola não é algo novo, assim como é bastante conhecido o seu potencial para o ensino e a aprendizagem em muitas áreas do conhecimento.
Em se tratando de aulas de matemática, o uso de jogos implícita uma mudança significativa nos processos de ensino e aprendizagem que permitem alterar o modelo tradicional de ensino, que muitas vezes tem no livro e em exercícios padronizados seu principal recurso didático. O trabalho com jogos na matemática, quando bem planejado e orientado, auxilia o desenvolvimento de habilidades como observação, análise, argumentação e organização, os quais são estreitamente relacionados ao assim chamado raciocínio lógico.
Podemos dizer que o jogo é um dos recursos que favorece o desenvolvimento a linguagem, diferentes processos de raciocínio e de interação entre os alunos e possibilitando uma situação de prazer e aprendizagem significativa nas aulas de matemática.
Uma das fases escolares que menos utiliza jogos nas aulas de matemática é o ensino médio. De fato, o sistema educativo de modo geral oferece resistência a esse recurso devido a uma crença bastante difundida na sociedade de que a matemática constitui-se em uma disciplina seria, enquanto a utilização de jogos supõe introduzir nas aulas dessa disciplina um componente divertido, o que comprometeria tal seriedade.
Por sua dimensão lúdica, o jogar pode ser visto como uma das bases sobre a qual se desenvolve o espírito construtivo, a imaginação, a capacidade de sistematizar e abstrair e a capacitação de interagir socialmente. Associada a dimensão lúdica, esta a dimensão educativa do jogo. Uma das interfaces mais promissoras dessa associação diz respeito a consideração dos erros. No fundo, o jogo é uma atividade seria que não tem conseqüências frustrantes para quem joga, no sentido de ver o erro como algo definitivo ou insuperável. Os erros são revistos de forma natural na ação das jogadas, sem deixar marcas negativas, mas propiciando novas tentativas, estimulando previsões e checagem.
Por permitir o jogador controlar e corrigir seus erros, seus avanços, assim como rever suas respostas, o jogo possibilita a ele descobrir onde falhou ou teve sucesso e os motivos pelo quais isso ocorreu.
Por fim, é exatamente essa dimensão lúdica do jogo que pode auxiliar na superação de uma das maiores preocupações dos professores do ensino médio em relação aos seus alunos.
Na discussão com seus pares, o aluno pode desenvolver seu potencial de participação, cooperação, respeito, mutuo e critica, é por meio da troca de pontos de vista com outras pessoa que o aluno vai descentralizando-se.
Sem a interação social, a lógica de uma pessoa não se desenvolve plenamente, porque é nas situações interpessoais que ela se sente obrigada a ser coerente. Sozinha poderá dizer e fazer o que quiser, mas, diante de outras pessoas, ela sentira a necessidade de pensar naquilo que dirá.
Em situação de cooperação, a obrigação é considerar todos os pontos de vista, ser coerente, racional, justificar as próprias conclusões e ouvir o outro. O jogo é uma das formas mais adequadas para que a socialização ocorra e permita aprendizagens.
Jogos de faz-de-conta, jogos individuas, brincadeiras... são variados a palavra jogo que levam para a escola, caracterizar o que é não é tarefa fácil. Citando dois referencias básico, quais sejam Kamii e Krulik. Desses dois autores deprendemos que:
 O jogo deve ser para dois ou mais jogadores;
 O jogo devera ter um objetivo a ser alcançado pelos jogadores;
 O jogo devera permitir os alunos assumam papeis interdependentes opostos e cooperativos;
 O jogo deve ter regras preestabelecidas que não podem ser modificadas no decorrer de uma jogada;
 No jogo, deve haver a possibilidade de usar estratégias, estabelecer planos, executar jogadas e avaliar a eficácia desses elementos nos resultados obtidos.
No jogo, as regras são parâmetros de decisão, uma vez que ao iniciar uma partida, ao aceitar jogar, cada um dos jogadores concorda com as regras que passam a valer para todos, como um acordo, um propósito que é de responsabilidade de todos.
De modo geral, há dois tipos de jogos de matemáticos que podem ser utilizados nas aulas: os de estratégia e os de conhecimento. Os jogos de estratégias são aqueles como xadrez, dama, nim, entre outros, nos quais o objetivo é encontrar jogadas que levem a estratégias vencedoras. Já os jogos de conhecimento são aqueles que fazem referencia a uma ou aos vários tópicos que habitualmente são estudados em matemática, tais como funções, geometria ou trigonometria. Servem para que os alunos construam e aprofundem de modo mais desafiador os conceitos e procedimentos a serem desenvolvidos em matemática no ensino médio.
A diferença essencial entre os dois tipos de jogos esta o fator sorte. Nos jogos de conhecimento, os alunos dependem de resultados sorteados em cartas ou dados; já nos jogos de estratégias, o fator tem pouca ou nenhuma interferência, uma vez que, o jogador depende exclusivamente das escolhas e decisões que realiza durante o jogo, ficando livre para escolher qualquer opção nos limites das regras do jogo.
A utilização de jogos esta baseada em uma perspectiva de resolução de problemas, pois inclui toda uma postura frente ao que é ensinar e sobre o que significa aprender.
A perspectiva metodológica da resolução de problemas caracteriza-se ainda por uma postura de inconformismo frente aos obstáculos e ao que foi estabelecido por outros, sendo um exercício continuo de desenvolvimento do senso critico e da criatividade, características primordiais daqueles que fazem ciência e estabelecem os objetivos do ensino de matemática.
Os jogos vistos apenas como um recurso já atenderia a exigência de que competência são mobilizadas, desenvolvidas e aprimoradas quando os alunos são colocados diante de matérias diversos, e não apenas de livros didáticos. Mais que isso, a resolução natural entre jogos e resolução de problemas coloca os alunos frente a situação que exigem deles desenvolver meios de alcançar uma meta, resolver problemas, agir na urgência e toma decisões. Destaca-se a preocupação mais explicita com o desenvolvimento de três grandes competências nessa área do conhecimento, a saber:
 Representação e comunicação;
 Investigação e compreensão;
 Contextualização das ciências.

Para que o aluno possa aprender em quanto joga, é preciso que o jogo tenha nas aulas tanto a dimensão lúdica quanto a educativa. Mas em primeiro lugar, é preciso lembrar que um jogador não aprende e pensa sobre o jogo quando joga uma única vez, é necessário que ele seja realizado mais de uma vez. Em segundo lugar, nem sempre os alunos de ensino médio são respectivos aos jogos porque, em vista das experiências anteriores com essa disciplina tende a pensar que os jogos não são tão matemáticos quanto a fórmulas, os cálculos e as técnicas em geral.
Além disso, não é qualquer jogo que serve para turma de alunos. Alguns cuidados a serem tomados nesse sentido.
É importante que você tenha clareza se fez uma boa opção. Por isso, antes de levar o jogo aos alunos, é necessário que você o conheça jogando. Leia as regras e simule jogadas verificando se o jogo apresenta situações desafiadoras aos seus alunos, se envolve conceitos adequados aquilo que você deseja que eles aprendam, levando-os ao desenvolvimento do raciocínio e da cooperação. É o interesse que suscita a necessidade de aprender a vontade de querer jogar e o desafio de vencer um obstáculo.
 Cada meio de propor o jogo ao grupo traz aprendizagens diferentes, exige envolvimentos diversos, e isso já pode ser a primeira situação-problema a ser enfrentado por eles. São comuns salas com cadeiras fixas no chão ou, ainda, com cadeiras do tipo universitárias, que não são adequadas a formação de grupo, um outro problema pode ser a acústica. Todos estes aspectos devem ser observados e estudados para se trabalhar com jogos em sala de aula.
 Outro aspecto importante é pensar no tempo de jogar, o que envolve diversas variáveis, entre as quais destacamos tempo de aprendizagem e tempo de aula.
 Ao jogar, o aluno constrói muitas relações, cria jogadas, analisa possibilidades. Algumas vezes tem consciência disso, outras nem tanto pode acontecer de um jogador não passar para uma nova fase de reflexão por não ter percebido determinadas mudanças de uma regra, ou mesmo por não ter a clareza de todas as regras ainda, devido a isso é preciso fazer uma exploração de jogos, conversando e debatendo.
Após jogarem, os alunos podem ser convidados a escrever ou desenhar sobre o jogo, manifestando, suas duvidas, suas opiniões e suas impressões dobrem a ação vivenciada, pode ser feito em texto narrativo, bilhete ou e-mail, carta, lista de dicas, ou blog. E para verificar realmente que os alunos aprenderam é pedir que modifiquem as regras do jogo, ou que inventem um jogo parecido com aquele que foi dado. Nessa proposta, será preciso que eles elaborem um plano sobre como será o jogo e de quais recursos necessitarão para fazê-lo, criem as regras, joguem os jogos elaborados e analisem as produções uns dos outros e tenham tempo para aprimorá-las, de modo que qualquer pessoa que deseja possa jogar.

Este é um resumo dos do contexto que possue na apostila, onde foi realizado um trabalho, para ser entregue a professora.

EQUAÇÃO LOGARÍTMICA

A invenção dos logaritmos ( palavra de origem grega:(logos) = tratado, arithmos (ariqmos) = números), deve-se ao matemático escocês John Napier, barão de Merchiston (1550-1617), que se interessou fundamentalmente pelo cálculo numérico e pela trigonometría. Em 1614, e ao fim de 20 anos de trabalho, publicou a obra Logarithmorum canonis descriptio, onde explica como se utilizam os logaritmos, mas não relata o processo como chegou a eles

Um ano depois, em 1615, o matemático inglês Henry Briggs (1561-1631), visitou Napier e sugeriu-lhe a utilização da base 10. A Napier agradou-lhe a ideia e resolveram elaborar as respectivas tábuas dos logaritmos decimais. Com a morte de Napier é Brigs que conclui o trabalho e em 1618, publica Logarithmorum Chiliaes prima, primeiro tratado sobre os logaritmos de base 10 e faz o calculo para os números de 1 a 20 000 e de 90 000 a 100 000

Definição de logaritmo :
Chama-se logaritmo de x na base a a um número b tal que se elevarmos a ao expoente b obtemos x:.Isto é:



Exemplo:

b) será portanto o logaritmo de x na base a o que significa que b é o expoente a que deve ser elevado a para obter x.

Exemplos:

1- log10 1000=3 pois 103 =1000

2- log3 81 = 4 já que 34 = 81

Uma nota:

Vamos tentar calcular manualmente o log210 . Como 23<10<24 o valor do log será um número entre 23 e quatro logo do tipo 3,... Assim já temos a chamada característica do logaritmo (isto é a parte inteira) podemos procurar uma primeira casa décimal , de facto 23.4=10.55 e 23.3=9.84 concluimos que a parte decimal inicia-se com 3 e log210=3,3.... mantissa ( do latim excesso).

Então o logaritmo de um número será da formma c,m onde c E Z e 0
Propriedades e regras operatórias:























Estudo da Função Logarítmica:

Chama-se função logaritmica à função real de variável real:








Gráfico da função logarítmica:

NOTAÇÃO EXPONENCIAL

O domínio da notação exponencial permite a qualquer pessoa lidar sem esforço com números imensos, como o número aproximado de micróbios contidos numa colher de chá de terra (108); ou de grãos de areia de todas as praias da Terra (talvez 1020); ou de seres vivos existentes na Terra (1029); ou de átomos contidos em toda a vida da Terra (1041); de núcleos atómicos no Sol (1057); do número de partículas elementares (electrões, protões, neutrões) existentes em todo o cosmos (1080). O que não quer dizer que consigamos visualizar 1 bilião ou 1 quintilião de objectos na nossa cabeça — ninguém consegue. Com a notação exponencial, porém, conseguimos pensar em, e calcular com, esses números. Nada mau para autodidactas que partiram do nada e contavam os parceiros pelos dedos das mãos e dos pés.

Os números realmente grandes fazem parte integrante da ciência moderna, mas não quero que quem me lê fique com a impressão de que foram inventados no nosso tempo.
Há muito que a aritmética na Índia é sinónimo de grandes números. Ainda hoje se encontram com facilidade nos jornais indianos referências a multas ou despesas em lakh ou crore de rupias. A chave é a seguinte: das = 10; san = 100; hazar = 1000; lakh = 105; crore = 107; arahb = 109; carahb = 1011; nie = 1013; padham = 1015; sankh = 1017. Antes de terem visto a sua cultura aniquilada pelos Europeus, os Maias do México antigo criaram um calendário do mundo que reduzia a uma escala de pigmeus os míseros milhares de anos que os Europeus pensavam que tinham decorrido desde a criação do mundo. Entre as ruínas dos monumentos de Coba, em Quintana Roo, há inscrições que os Maias pensavam num universo com perto de 1029 de anos. Os Hindus atribuíam à actual encarnação do universo a idade de 8,6 × 109 anos — quase na mouche. E o matemático siciliano Arquimedes, que viveu no século iii a. C., no seu livro O Contador de Grãos de Areia, calculou que seriam necessários 1063 grãos de areia para encher o cosmos. Nas questões verdadeiramente grandes, já nessa altura biliões e biliões eram meros trocos.

A função exponencial é uma das mais importantes funções da matemática. Descrita, normalmente, como exp(x) ou ex (onde e é a constante matemática neperiana, base do logarítmo neperiano), pode ser definida de duas maneiras equivalentes: a primeira, como uma série infinita; a segunda, como limite de uma seqüência:


A curva ex jamais toca o eixo x, embora apresente tendência a se aproximar deste.


Aqui, n! corresponde ao fatorial de n e x é qualquer número real ou complexo.

Se x é real, então ex é sempre positivo e crescente. Conseqüentemente, sua função inversa, o logarítmo neperiano, ln(x), é definida para qualquer valor positivo de x. Usando o logarítmo neperiano, pode-se definir funções exponenciais mais genéricas, como abaixo:

ax = exlna
Para todo a > 0 e .

A função exponencial também gera funções trigonométricas (como pode ser visto na equação de Euler para análises complexas), e as funções hiperbólicas. Então, tem-se que qualquer função elementar, exceto as polinomiais são criadas a partir da função exponencial.

As funções exponenciais "transitam entre a adição e a multiplicação" como é expressado nas seguintes leis exponenciais:
a0 = 1
a1 = a
ax + y = axay

axbx = (ab)x
Estas são válidas para todos os números positivos reais a e b e todos os números reais x. Expressões envolvendo frações e raízes podem freqüentemente serem simplificadas usando-se a notação exponencial porque:

JOGO DAS FUNÇÕES

Após ter feito a construção do jogo, dia 16/03/2009, neste dia foi ensinado pela professora a forma de se jogar o jogo das funções, onde cada participante tem que resolver a sua carta, chegando em uma resultado final, e assim, sucessivamente, até o termino das resoluções.

CONSTRUÇÃO DO JOGO DE FUNÇÃO

Utilizando papel cartão, cola, tesoura, fita adesiva e cópia do jogo, foi confeccionado o Jogo das Funções. Trabalho em grupo, confeccionado pelas Acadêmicas, Claudiane, Eveline, Sirlane e Sueli.

FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1° e 2° GRAU

1° GRAU

Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a0.

Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.

Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:

f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0


Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.

Exemplo:

Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:
Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:

a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).
b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto é .

Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.


Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta.
O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.

O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.

2° GRAU

A função do segundo grau mais simples é a função . Todo ponto de seu gráfico é da forma , ou seja, a ordenada de cada ponto é o quadrado da abscissa.
A curva obtida denomina-se parábola:


O objetivo aqui é o de descobrir como é o gráfico da função do segundo grau y=ax2+bx+c, onde , quando comparado ao gráfico de y=x2, observando as transformações realizadas, dependendo dos parâmetros a, b e c. Para adquirir essa compreensão, começamos com situações mais simples, tendo sempre como referência o gráfico de y=x2.

FUNÇÕES EXPONENCIAS

Função exponencial é uma função na qual a variável (incógnita) se encontra no expoente.

A função exponencial pode ser escrita de forma geral, veja como:
f : R → R*+ tal que f(x) = ax, sendo que a R*+ e a ≠ 1.

Essa representação significa: dada uma função dos reais para os reais positivos, menos o zero, sendo que a função exponencial terá base a onde a só poderá assumir valores positivos diferentes de zero e diferentes de 1.

Veja alguns exemplos de funções exponenciais:

f(x) = 3x, função exponencial de base 3 e expoente x (variável).

f(y) = 3 y, função exponencial de base 3 e expoente y (variável).
5

f(x) = 0,5x, função exponencial de base 0,5 e expoente x (variável).

f(x) = √5x, função exponencial de base √5 e expoente x (variável).

• Gráfico de função exponencial

A construção de gráficos de função exponencial segue dois modelos, quando o valor da base é maior que 1 e quando o valor da base está entre 0 e 1. Veja esses modelos esboçados:

Dada a função f(x) = ax, veja como ficarão os gráficos dependendo do valor de a (base).

• Esse gráfico representa uma função exponencial crescente onde a > 1.


• Imagem e domínio: x1 e x2 são os valores do domínio dessa função e os valores de y1 e y2 são os valores da imagem dessa função, sendo que a imagem será sempre (quando o valor da base é maior que 1) um valor real positivo diferente de zero.

• Esse gráfico representa uma função exponencial decrescente onde
0 < a < 1.

• Imagem e domínio: x1 e x2 são os valores do domínio dessa função e os valores de y1 e y2 são os valores da imagem dessa função, sendo que a imagem será sempre (quando o valor da base é maior que 1) um valor real positivo diferente de zero.

Os dois tipos de gráficos possuem características semelhantes, essas são características para qualquer gráfico de função exponencial.

• O gráfico (curva) nunca irá interceptar o eixo x, pois a função exponencial não possui raiz.

• O gráfico (curva) irá cortar apenas o eixo y e sempre será no ponto 1, sendo que os valores de y sempre serão positivos.

CORREÇÃO DE EXERCÍCIOS