NOTAÇÃO EXPONENCIAL

O domínio da notação exponencial permite a qualquer pessoa lidar sem esforço com números imensos, como o número aproximado de micróbios contidos numa colher de chá de terra (108); ou de grãos de areia de todas as praias da Terra (talvez 1020); ou de seres vivos existentes na Terra (1029); ou de átomos contidos em toda a vida da Terra (1041); de núcleos atómicos no Sol (1057); do número de partículas elementares (electrões, protões, neutrões) existentes em todo o cosmos (1080). O que não quer dizer que consigamos visualizar 1 bilião ou 1 quintilião de objectos na nossa cabeça — ninguém consegue. Com a notação exponencial, porém, conseguimos pensar em, e calcular com, esses números. Nada mau para autodidactas que partiram do nada e contavam os parceiros pelos dedos das mãos e dos pés.

Os números realmente grandes fazem parte integrante da ciência moderna, mas não quero que quem me lê fique com a impressão de que foram inventados no nosso tempo.
Há muito que a aritmética na Índia é sinónimo de grandes números. Ainda hoje se encontram com facilidade nos jornais indianos referências a multas ou despesas em lakh ou crore de rupias. A chave é a seguinte: das = 10; san = 100; hazar = 1000; lakh = 105; crore = 107; arahb = 109; carahb = 1011; nie = 1013; padham = 1015; sankh = 1017. Antes de terem visto a sua cultura aniquilada pelos Europeus, os Maias do México antigo criaram um calendário do mundo que reduzia a uma escala de pigmeus os míseros milhares de anos que os Europeus pensavam que tinham decorrido desde a criação do mundo. Entre as ruínas dos monumentos de Coba, em Quintana Roo, há inscrições que os Maias pensavam num universo com perto de 1029 de anos. Os Hindus atribuíam à actual encarnação do universo a idade de 8,6 × 109 anos — quase na mouche. E o matemático siciliano Arquimedes, que viveu no século iii a. C., no seu livro O Contador de Grãos de Areia, calculou que seriam necessários 1063 grãos de areia para encher o cosmos. Nas questões verdadeiramente grandes, já nessa altura biliões e biliões eram meros trocos.

A função exponencial é uma das mais importantes funções da matemática. Descrita, normalmente, como exp(x) ou ex (onde e é a constante matemática neperiana, base do logarítmo neperiano), pode ser definida de duas maneiras equivalentes: a primeira, como uma série infinita; a segunda, como limite de uma seqüência:


A curva ex jamais toca o eixo x, embora apresente tendência a se aproximar deste.


Aqui, n! corresponde ao fatorial de n e x é qualquer número real ou complexo.

Se x é real, então ex é sempre positivo e crescente. Conseqüentemente, sua função inversa, o logarítmo neperiano, ln(x), é definida para qualquer valor positivo de x. Usando o logarítmo neperiano, pode-se definir funções exponenciais mais genéricas, como abaixo:

ax = exlna
Para todo a > 0 e .

A função exponencial também gera funções trigonométricas (como pode ser visto na equação de Euler para análises complexas), e as funções hiperbólicas. Então, tem-se que qualquer função elementar, exceto as polinomiais são criadas a partir da função exponencial.

As funções exponenciais "transitam entre a adição e a multiplicação" como é expressado nas seguintes leis exponenciais:
a0 = 1
a1 = a
ax + y = axay

axbx = (ab)x
Estas são válidas para todos os números positivos reais a e b e todos os números reais x. Expressões envolvendo frações e raízes podem freqüentemente serem simplificadas usando-se a notação exponencial porque: